分析 (1)运用奇函数的定义和单调性的定义,即可得证;
(2)由题意可得不等式f(kx2-6)+f(k-2x)<0即为f(kx2-6)<-f(k-2x)=f(2x-k),由f(x)在R上递增,可得kx2-6<2x-k,构造函数g(k)=k(x2+1)-6-2x,由一次函数的单调性,可得g(-1)<0,g(1)<0,解之即可得到所求范围.
解答 解:(1)证明:定义在R上的奇函数f(x),可得f(-x)=-f(x),
可令a=x1,b=-x2,即有f(x1)+f(−x2)x1−x2>0,
即f(x1)−f(x2)x1−x2>0,当x1<x2时,f(x1)<f(x2),
则f(x)在R上递增;
(2)不等式f(kx2-6)+f(k-2x)<0即为
f(kx2-6)<-f(k-2x)=f(2x-k),
由f(x)在R上递增,可得kx2-6<2x-k,
即k(x2+1)-6-2x<0,设g(k)=k(x2+1)-6-2x,
由k∈[-1,1]上恒成立,可得
{g(−1)<0g(1)<0即为{−x2−2x−7<0x2−2x−5<0
即{x∈R1−√6<x<1+√6,解得1-√6<x<1+√6.
则x的范围是(1-√6,1+√6).
点评 本题考查函数的单调性的判断和证明,以及运用:解不等式,考查不等式恒成立问题的解法,注意主元思想的运用,考查运算能力,属于中档题和易错题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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