已知函数.
(1)求函数的定义域
,并判断
的奇偶性;
(2)用定义证明函数在
上是增函数;
(3)如果当时,函数
的值域是
,求
与
的值.
.解:(1) ,函数
是奇函数.
(2)设、算、证、结
(3),
解析试题分析:
思路分析:(1)由,求得
计算知函数
是奇函数.
另证:对任意0,
(2)利用“定义”“设、算、证、结”。
(3)根据且
在
的值域是
,
得到a的方程解得
(
舍去)
得到,
。
解:(1)令,解得
,
对任意
所以函数是奇函数.
另证:对任意,
所以函数是奇函数.
(2)设,
∴
∴
∴ ∵
∴
∴,∴
所以函数在
上是增函数.
(3)由(2)知,函数在
上是增函数,
又因为时,
的值域是
,
所以且
在
的值域是
,
故且
(结合
图像易得
)
解得
(
舍去)
所以,
考点:对数函数的性质,函数的奇偶性、单调性。
点评:中档题,本题主要考查对数函数的性质,利用函数的奇偶性、单调性定义,判断函数的奇偶性,证明函数的单调性,属于基础题目。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为
,当年产量不足80千件时,
(万元).当年产量不小于80千件时,
(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(Ⅰ)写出年利润(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式;
(Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数和点
,过点
作曲线
的两条切线
、
,切点分别为
、
.
(Ⅰ)设,试求函数
的表达式;
(Ⅱ)是否存在,使得
、
与
三点共线.若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数,在区间
内总存在
个实数
,
,使得不等式
成立,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
为了降低能源损耗,某城市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度(单位:cm)满足关系:
,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及
的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效。有一家公司现有职员人,(
,且
为偶数),每人每年可创利
万元。据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年可多创利
万元,但公司需支付下岗职员每人每年
万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有员工的
,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x.
(1)求f(x);
(2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知幂函数,且
在
上单调递增.
(1)求实数的值,并写出相应的函数
的解析式;
(2)若在区间
上不单调,求实数
的取值范围;
(3)试判断是否存在正数,使函数
在区间
上的值域为
若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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