Question

重庆市某中学计划2010年在重庆新闻、影视频道“做100周年校庆”总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，新闻、影视频道的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定新闻、影视频道为我校所做的每分钟广告，能给学校带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问学校如何分配在新闻、影视频道的广告时间，才能使学校的收益最大，最大收益是多少万元？

Answer 1

分析：本题先找出约束条件与目标函数，即先设做广告的时间分别为x分钟和 y分钟，总收益为z元，然后根据题意建立约束条件和目标函数，最后根据目标函数平移的方法解决最优解，从而得到结论．准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．

解答：解：设做广告的时间分别为x分钟和 y分钟，总收益为z元，
由题意得

x+y≤300 500x+200y≤90000 x≥0，y≥0.

目标函数为z=3000x+2000y．  （6分）
二元一次不等式组等价于

x+y≤300 5x+2y≤900 x≥0，y≥0.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：
作直线z=3000x+2000y
当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立

x+y=300 5x+2y=900.

解得x=100，y=200．
∴点M的坐标为（100，200）．
∴z_max=3000x+2000y=700000（元） （13分）
答：在新闻、影视频道分别做100，200分钟广告，收益最大，最大收益是70万元．

点评：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．