Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据椭圆的离心率为，得到，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到，从而求得，进而求得椭圆的方程；

（2）分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果.

（1）由离心率为，可得，

，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为，

因与直线相切，则有，即，，，

故而椭圆方程为．

（2）①当直线l的斜率不存在时，，，

由于；

②当直线l的斜率为0时，，，

则；

③当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，

由及，

得，有，∴，，

，，

∴，

综上所述：．