Question

(本小题14分) 如图，在平面直角坐标系xoy中，设点F(0, p)(p>0), 直线l : y= －p, 点P在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线、，使， .
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线，设切点为A、B，求证：直线AB恒过一定点；
(3)对(2)求证：当直线MA, MF, MB的斜率存在时，直线MA, MF, MB的斜率的倒数成等差数列.

Answer 1

(1)．（2）直线恒过定点. (3) 证明：见解析。

解析试题分析：（Ⅰ）先判断RQ是线段FP的垂直平分线，从而可得动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线；
（Ⅱ）设M（m，-p），两切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切线方程，从而可得x₁，x₂为方程x²-2mx-4p²=0的两根，进一步可得直线AB的方程，即可得到直线恒过定点（0，p）；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）的结论，设M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，从而可得k_MA，k_MB由此可证直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列．
解：(1)依题意知，点是线段的中点，且⊥，
∴是线段的垂直平分线． ∴．
故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
其方程为：．
（2）设，两切点为， 
∴两条切线方程为xx=2p(y+y)    ① 
xx=2p(y+y)    ② 
对于方程①，代入点, 又, 整理得：, 同理对方程②有, 即为方程的两根.
∴  ③
设直线的斜率为，
所以直线的方程为，展开得：，代入③得：,  ∴直线恒过定点.
(3) 证明：由（2）的结论，设， ， 
且有，
∴ 
∴
=
又∵，所以
即直线的斜率倒数成等差数列.
考点：本题主要考查了抛物线的定义，考查直线恒过定点，考查直线的向量。属于中档题
点评：解决该试题的关键是正确运用韦达定理，以及抛物线中x,y关系式的转化与化简是解决试题的又一个难点。