Question

几位同学在研究函数f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）时，给出了下面几个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；③f（x）在（0，+∞）是增函数；④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立，
上述结论中正确的个数有

 

个．

Answer 1

分析：根据题意，以此分析命题：①函数f（x）的值域为（-1，1），可由绝对值不等式的性质证明得；②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），可根据函数的解析式判断出其是一个增函数，；③与②的判断方法一样；④由其形式知，此是一个与自然数有关的命题，故采用数学归纳法进行证明，即可得答案．

解答：解：①|x|＜1+|x|，故

x

1+|x|

∈(-1，1)，函数f（x）的值域为（-1，1），①正确；
②函数f(x)=

x

1+|x|

是一个奇函数，当x≥0时，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

，判断知函数在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）是一个增函数，故若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），此命题正确；
③由②已证，故此命题正确；
④当n=1，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f2(x)=

x 1+|x|

1+ |x| 1+|x|

=

x

1+2|x|

，假设n=k时，fk(x)=

x

1+k|x|

成立，则n=k+1时，fk+1(x)=

x 1+k|x|

1+  |x| 1+k|x|

=

x

1+(k+1)|x|

成立，由数学归纳法知，此命题正确．
故答案为 4

点评：本题考查数学归纳法以及函数的单调性的判断与证明，函数的值域的求法等，本题涉及函数的三大性质，以及数学归纳法证明，难度不小，综合性强．求解本题的关键是用数学归纳法证明命题④，要注意数学归纳法的格式，数学归纳法的特征．第一题中值域的证明也是一个难点，作为一个判断题，本题的难点就不难了．