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几位同学在研究函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)时,给出了下面几个结论:
①函数f(x)的值域为(-1,1);②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);③f(x)在(0,+∞)是增函数;④若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立,
上述结论中正确的个数有
 
个.
分析:根据题意,以此分析命题:①函数f(x)的值域为(-1,1),可由绝对值不等式的性质证明得;②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2),可根据函数的解析式判断出其是一个增函数,;③与②的判断方法一样;④由其形式知,此是一个与自然数有关的命题,故采用数学归纳法进行证明,即可得答案.
解答:解:①|x|<1+|x|,故
x
1+|x|
∈(-1,1)
,函数f(x)的值域为(-1,1),①正确;
②函数f(x)=
x
1+|x|
是一个奇函数,当x≥0时,f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
,判断知函数在(0,+∞)上是一个增函数,由奇函数的性质知,函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)是一个增函数,故若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2),此命题正确;
③由②已证,故此命题正确;
④当n=1,f1(x)=f(x)=
x
1+|x|
f2(x)=
x
1+|x|
1+
|x|
1+|x|
=
x
1+2|x|
,假设n=k时,fk(x)=
x
1+k|x|
成立,则n=k+1时,fk+1(x)=
x
1+k|x|
1+ 
|x|
1+k|x|
=
x
1+(k+1)|x|
成立,由数学归纳法知,此命题正确.
故答案为 4
点评:本题考查数学归纳法以及函数的单调性的判断与证明,函数的值域的求法等,本题涉及函数的三大性质,以及数学归纳法证明,难度不小,综合性强.求解本题的关键是用数学归纳法证明命题④,要注意数学归纳法的格式,数学归纳法的特征.第一题中值域的证明也是一个难点,作为一个判断题,本题的难点就不难了.
练习册系列答案
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几位同学在研究函数(x∈R)时,给出了下面几个结论:
①函数f(x)的值域为(-1,1);②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);③f(x)在(0,+∞)是增函数;④若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则对任意n∈N*恒成立,
上述结论中正确的个数有    个.

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年江苏省泰州市中学高一(上)期末数学试卷(解析版) 题型:填空题

几位同学在研究函数(x∈R)时,给出了下面几个结论:
①函数f(x)的值域为(-1,1);②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);③f(x)在(0,+∞)是增函数;④若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则对任意n∈N*恒成立,
上述结论中正确的个数有    个.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

几位同学在研究函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)时,给出了下面几个结论:
①函数f(x)的值域为(-1,1);②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);③f(x)在(0,+∞)是增函数;④若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立,
上述结论中正确的个数有______个.

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科目:高中数学 来源:四川省月考题 题型:填空题

几位同学在研究函数(x∈R)时,给出了下面几个结论:
①函数f(x)的值域为(﹣1,1);
②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
③f(x)在(0,+∞)是增函数;
④若规定f1(x)=f(x),f n+1(x)=f [f n(x)],则对任意n∈N*恒成立,
上述结论中正确的个数有(    )

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