Question

已知斐波那契数列{F_n}满足：F₁=1，F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N*），若数列{F_n+1+λF_n}是等比数列（λ为实常数）．
（1）求出所有λ的值，并求数列{F_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）设F_n+2+λF_n+1=q（F_n+1+λF_n）（q≠0）则F_n+2=（q-λ）F_n+1+qλF_n，又因为F_n+2=F_n+1+F_n，所以，由此能够求出所有λ的值，并求出数列{F_n}的通项公式．
（2）由F_n＞0，知F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+1，{F_n}为递增数列．所以F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+F_n，即F_n+2＞2F_n．由此入手能够证明．
解答：解：（1）设F_n+2+λF_n+1=q（F_n+1+λF_n）（q≠0），
则F_n+2=（q-λ）F_n+1+qλF_n
又因为F_n+2=F_n+1+F_n
∴，
解得------（3分）；
∴
∴
两式相减得，----（8分）；
（2）证：显然F_n＞0，
∴F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+1，
∴{F_n}为递增数列．
∴F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+F_n，
即F_n+2＞2F_n----（12分）；
∴F₇＞2F₅=2×5，F₉＞2F₇＞2²F₅=2²×5，…，
F₂₀₀₇＞2F₂₀₀₅＞2²F₂₀₀₃＞…＞2¹⁰⁰¹F₅=2¹⁰⁰¹×5
∴F₈＞2F₆=2×8，F₁₀＞2F₈＞2²F₆=2²×8，…，
F₂₀₀₆＞2F₂₀₀₄＞2²F₂₀₀₂＞…＞2¹⁰⁰⁰F₆=2¹⁰⁰⁰×8---（16分）；
+=×∴
--（20分）；
点评：本题考查数列与不等式的综合应用能力，综合性强，难度是高考的重点，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意培养计算能力，注意合理地进行等价转化．