Question

已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x²+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．
（Ⅱ）由f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|-|x|，令 h（x）=|2x+1|-|x|，则 h（x）=

-x-1  ， x≤- 1 2 3x+1  ， - 1 2 ＜x＜0 x+1  ， x≥0

，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x²+4x+1≥0，
解得x≤-1 或x≥-

1

3

∴原不等式的解集为 （-∞，-1]∪[-

1

3

，+∞）
（Ⅱ）由f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|-|x|，令 h（x）=|2x+1|-|x|，即 h（x）=

-x-1  ， x≤- 1 2 3x+1  ， - 1 2 ＜x＜0 x+1  ， x≥0

，
故 h（x）_min=h（-

1

2

）=-

1

2

，故可得到所求实数a的范围为（-

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．