Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．
（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；
（2）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜3，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R，∴不等式f（x）＜1 即|x﹣2a|＜1，求得2a﹣1＜x＜2a+1．

再根据不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，

可得2a﹣1=1，且2a+1=3，求得a=1

（2）解：令g（x）=f（x）+x=|x﹣2a|+x= ，故g（x）=f（x）+x的最小值为2a，

根据题意可得2a＜3，a＜ ，故a的范围是（﹣∞， ）

【解析】（1）由不等式f（x）＜1求得2a﹣1＜x＜2a+1，再根据不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，求得a的值．（2）令g（x）=f（x）+x=|x﹣2a|+x= ，可得g（x）的最小值为2a，根据题意可得2a＜3，由此求得a的范围．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．