Question

已知三条直线l₁：2x－y＋a＝0（a＞0），直线l₂：－4x＋2y＋1＝0和直线l₃：x＋y－1＝0，且l₁与l₂的距离是.

（1）求a的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

（2）求l₃到l₁的角θ；

（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l₁的距离是P点到l₂的距离的；③P点到l₁的距离与P点到l₃的距离之比是∶？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由.

Answer 1

解析：（1）l₂即2x－y－＝0，∴l₁与l₂的距离d＝＝.

∴＝.∴|a＋|＝.∵a＞0，∴a＝3. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

（2）由（1），l₁即2x－y＋3＝0，∴k₁＝2.而l₃的斜率k₃＝－1，

∴tanθ＝＝＝－3.  ∵0≤θ＜π，∴θ＝π－arctan3.

（3）设点P（x₀，y₀），若P点满足条件②，则P点在与l₁、l₂平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，

且＝，即C＝或C＝，∴2x₀－y₀＋＝0或2x₀－y₀＋＝0；

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，

有＝，即|2x₀－y₀＋3|＝|x₀＋y₀－1|，

∴x₀－2y₀＋4＝0或3x₀＋2＝0.  由P在第一象限，∴3x₀＋2＝0不可能.

联立方程2x₀－y₀＋＝0和x₀－2y₀＋4＝0，     

应舍去.

解得：x₀＝－3，y₀＝，      w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

由2x₀－y₀＋＝0，x₀－2y₀＋4＝0，　　解得：x₀＝，y₀＝.

∴P（，）即为同时满足三个条件的点.