Question

已知⊙O：x²+y²=1，直线l的方程为x-y-4=0，点P为直线上一点，过点P做⊙O的切线切点为A，B．求A，B中点M的运动轨迹所在的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：设直线l：x-y-4=0上的点P（x₀，x₀-4），由此求出直线AB的方程，再求出直线OP的方程；
两方程联立，消去参数x₀，求出动点M的轨迹方程．

解答： 解：设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且直线l：x-y-4=0上的点P为（x₀，x₀-4），
则再设Q（x，y）为过A的切线上一点，∴

AQ

=（x-x₁，y-y₁），
∵

AQ

•

OA

=0，∴x₁（x-x₁）+y₁（y-y₁）=0，化简得x₁x+y₁y=x₁²+y₁²
又∵点A在圆x²+y²=1上，∴x₁²+y₁²=1，
∴经过点A的圆的切线为x₁x+y₁y=1，
同理经过点B的圆的切线为x₂x+y₂y=1；
又∵点P（x₀，x₀-4₀）是两切线的交点，
∴x₀x₁+（x₀-4）y₁=1，说明点A（x₁，y₁）在直线x₀x+（x₀-4）y=1上；
同理x₀x₂+（x₀-4）y₂=1，说明点B（x₂，y₂）在直线x₀x+（x₀-4）y=1上；
∴直线AB的方程为：x₀x+（x₀-4）y=1①，
又直线OP的方程为：（x₀-4）x-x₀y=0②；
①②联立，消去x₀，
得4x²+4y²-x+y=0，
∴点M的运动轨迹所在的方程为4x²+4y²-x+y=0．

点评：本题考查了求点的轨迹方程的问题，解题时应先求出圆的切点弦所在直线方程，再利用两直线的交点坐标，消去参数，即可得出结论，是中档题．