Question

【题目】设抛物线的焦点为，的准线与轴的交点为，点是上的动点．当是等腰直角三角形时，其面积为2．

（1）求的方程；

（2）延长AF交C于点B，点M是C的准线上的一点，设直线，，的斜率分别是，证明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据抛物线的准线方程和焦点坐标，结合勾股定义以及三角形面积，即可求得，则抛物线方程可求；

（2）设出直线方程，联立抛物线方程，得到关于的一元二次方程，将斜率之和表示出来，结合韦达定理，即可证明.

（1）依题意可知，当是等腰直角三角形时：

若时，根据抛物线定义，显然不成立；

若时，显然也不成立.

故.

∵抛物线方程为，

∴焦点，，

∴的面积，解得，

∴抛物线的方程为

（2）证明：由（1）知，

设直线的方程：代入得:，

设，所以

设，则：，，

∵，∴

∴

∴.