Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[-1，0]上是单调减函数，则a²+b²的最小值为

9

5

．

Answer 1

分析：由函数在区间[-1，0]上是单调递减，得到导函数小于等于0恒成立即f′（-1）≤0且f′（0）≤0代入得到一个不等式组，可以把而a²+b²可视为平面区域

3-2a+b≤0 b≤0

内的点到原点的距离的平方，则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值；

解答：解：（1）依题意，f′（x）=3x²+2ax+b≤0，在[-1，0]上恒成立．
只需要

f′(-1)≤0 f′(0)≤0

即可，也即

3-2a+b≤0 b≤0

，而a²+b²可视为平面区域

3-2a+b≤0 b≤0

内的点到原点的距离的平方，
由点到直线的距离公式得d²=（

3

5

）²=

9

5

，
∴a²+b²的最小值为

9

5

．
故答案为：

9

5

．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，理解点到直线的距离公式，理解二元一次不等式组与平面区域的关系．