Question

(14分)如图所示，在三棱柱中，平面，，，，，是棱的中点．高.考.资.源.网

（Ⅰ）证明：平面；高.考.资.源.网

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．高.考.资.源.网

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱中，平面．

∴，∵， 

∴平面．

∵平面，

∴，而∥，则

在与中，，

∴∽ , ∴…………………………4分

∴, 即

∵， ∴平面…………………………6分

（Ⅱ）如图，设，过作的垂线，垂足为，连．

∵平面，∴，∴平面，∴为二面角的平面角． 在中，，，

∴，∴ ；

在中，，，∴，

∴ …………………………12分

∴在中，，

故锐二面角的余弦值为．

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………14分

解法二（1）∵，∴

∵，∴平面   

以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系。  ……2分

易求点，，，

  ，， ……………4分

（1），，

，,∴，，

即，,∵，∴平面   …7分

（Ⅱ）设是平面的法向量；由得

，取，则是平面的一个法向量，…10分

又是平面的一个法向量.………………12分

    

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为     14分