Question

3．如果a＞0，b＞0，试证明lg$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{lga+lgb}{2}$．

Answer 1

分析 运用作差比较法，结合对数的运算性质，以及解不等式，即可得证．

解答 证明：由于a＞0，b＞0，
则lg$\frac{a+b}{2}$-$\frac{lga+lgb}{2}$=lg$\frac{a+b}{2}$-$\frac{1}{2}$lg（ab）
=lg$\frac{a+b}{2}$-lg$\sqrt{ab}$，
由基本不等式，可得$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，
则lg$\frac{a+b}{2}$≥lg$\sqrt{ab}$，
即有lg$\frac{a+b}{2}$-lg$\sqrt{ab}$≥0，
则有lg$\frac{a+b}{2}$≥$\frac{lga+lgb}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查对数函数的性质和基本不等式的运用，属于中档题．