Question

已知平面区域D由A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则实数m=

 

．

Answer 1

分析：将目标函数z=x+my化成斜截式方程后得：y=-

1

m

x+

1

m

z，若m＞0时，目标函数值Z与直线族：y=-

1

m

x+

1

m

z截距同号，当直线族y=-

1

m

x+

1

m

z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z=x+my取得最小值的最优解有无数多个；若m＜0时，目标函数值Z与直线族：y=-

1

m

x+

1

m

z截距异号，当直线族y=-

1

m

x+

1

m

z的斜率与直线BC的斜率相等时，目标函数z=x+my取得最小值的最优解有无数多个．但由于AC与BC的斜率为负，则不满足第二种情况，由此不难得到m的值．

解答：解：依题意，令z=0，可得直线x+my=0的斜率为-

1

m

，
结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时，
线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，
而直线AC的斜率为-1，所以m=1．
故答案为：1．

点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．