Question

已知点B（5，0）和点C（-5，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k₁，直线m的斜率为k_2：
（Ⅰ）如果k₁•k₂=，求点A的轨迹方程；
（Ⅱ）如果k₁•k₂=a，其中a≠0，求点A的轨迹方程，并根据a的取值讨论此轨迹是何种曲线．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点A（x，y），则 k₁=，k₂=，由 k₁•k₂=，得 ，
即（y≠0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 k₁=，k₂=，代入 k₁•k₂=a可得； ，即
（y≠0）．
①当a＞0，表示双曲线，去掉（5，0），（-5，0）两点．
②当-1＜a＜0，表示焦点在x轴上的椭圆．
③当 a=-1，表示圆．
④当a＜-1，表示焦点在y轴的椭圆．
分析：（Ⅰ）设点A（x，y），用x，y表示 k₁和k₂ ，利用 k₁•k₂=，建立关于x，y的方程．
（Ⅱ） 用x，y表示 k₁和k₂ ，k₁•k₂=a，建立关于x，y的方程并进行化简，讨论a的取值范围，确定轨迹所代表的曲线．
点评：本题考查求点的轨迹方程的方法，以及由轨迹方程判断轨迹所代表的曲线，体现了分类讨论的数学思想．