Question

【题目】已知抛物线的焦点为，是上一点，且．

（1）求的方程；

（2）过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点两点作抛物线的切线，两条切线相交于点，点关于直线的对称点，判断四边形是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由是上一点，可以得到一个等式；由抛物线的定义，结合，又得到一个等式，二个等式组成一个方程组，解这个方程组，这样就可以求出抛物线的方程；

（2）设出直线方程为，与抛物线方程联立，设点，利用根与系数的关系可以求出，利用弦长公式可以求出的长，利用导数求出两条切线的斜率，可以证明出，的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，即可证明四边形存在外接圆，根据长度的表达式，可以求出外接圆面积的最小值.

（1）解：根据题意知，①

因为，所以②

联立①②解得．

所以抛物线的方程为．

（2）四边形存在外接圆．

设直线方程为，代入中，得，

设点，则，

且

所以，

因为，即，所以．

因此，切线的斜率为，切线的斜率为，

由于，所以，即是直角三角形，

所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，

所以点一定在的外接圆上，即四边形存在外接圆．

又因为，所以当时，线段最短，最短长度为4，

此时圆的面积最小，最小面积为．