Question

4．已知M为三角形ABC内一点，且满足2$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{0}$，若∠AMB=$\frac{3π}{4}$，∠AMC=$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow{MB}$|=2$\sqrt{3}$，则|$\overrightarrow{MC}$|=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设线段BC的中点为E，由条件可得 $\overrightarrow{MA}$=-$\overrightarrow{ME}$，故A、M、E三点共线，∴∠BME=$\frac{π}{4}$，∠CME=$\frac{π}{3}$．△BME中和△CME中，分别应用正弦定理可得MC的值．

解答 解：设线段BC的中点为E，则$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{ME}$，
根据 2$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{0}$，可得 $\overrightarrow{MA}$=-$\overrightarrow{ME}$，故A、M、E三点共线．
∵∠AMB=$\frac{3π}{4}$，∠AMC=$\frac{2π}{3}$，∴∠BME=$\frac{π}{4}$，∠CME=$\frac{π}{3}$．
△BME中，由正弦定理可得$\frac{MB}{sin∠BEM}$=$\frac{\frac{BC}{2}}{sin\frac{π}{4}}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{sin∠BEM}$=$\frac{BC}{\sqrt{2}}$，即BC=$\frac{2\sqrt{6}}{sin∠BEM}$ ①．
△CME中，由正弦定理可得$\frac{MC}{sin（π-∠MEB）}$=$\frac{\frac{BC}{2}}{sin\frac{π}{3}}$，即$\frac{MC}{sin∠BEM}$=$\frac{BC}{\sqrt{3}}$，即BC=$\frac{\sqrt{3}MC}{sin∠BEM}$ ②．
由①②求得MC=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理的应用，属于中档题．