Question

【题目】当n为正整数时，函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（3）=3，N（10）=5，…，设Sn=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2n﹣1）+N（2n），则Sn= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身．因此N（x）=x，当x是偶数时，参看下面的讨论， 因此由这样一个性质，我们就可将Sn进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加，即Sn=S奇+S偶 ，
∴S奇=N（1）+N（3）+…+N（2n﹣1）=1+3+…2n﹣1= =4n﹣1
当x是偶数时，且x∈[2k ， 2k+1）①当k=1时，x∈[2，4）该区间包含的偶数只有2，而N（2）=1所以该区间所有的偶数的最大奇因数之和为T1=1
②当k=2时，x∈[4，8），该区间包含的偶数为4，6，所以该区间所有的最大奇因数偶数之和为T2=1+3=4
③当k=3时，x∈[8，16），该区间包含的偶数为8，10，12，14，则该区间所有偶数的最大奇因数之和为T3=1+3+5+7=16，因此我们可以用数学归纳法得出当x∈[2k ， 2k+1）该区间所有偶数的最大奇因数和Tk=4k﹣1 ．
∴对k从1到n﹣1求和得T1+T2+…+Tn﹣1=
∴S偶=T1+T2+…+Tn﹣1+N（2n）=
综上可知Sn=S奇+S偶=4n﹣1+ =
所以答案是
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．