Question

12．若曲线C₁：y=ax³-6x²+12x与曲线C₂：y=e^x在x=1处的两条切线互相平行，则a的值为$\frac{e}{3}$．

Answer 1

分析 分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值相等，由此求得a的值．

解答 解：由y=ax³-6x²+12x，
得y′=3ax²-12x+12，
∴y′|_x=1=3a，
由y=e^x，得y′=e^x，
∴y′|_x=1=e．
∵曲线C₁：y=ax³-6x²+12x与曲线C₂：y=e^x在x=1处的切线互相平行，
∴3a=e，解得：a=$\frac{e}{3}$．
故答案为：$\frac{e}{3}$．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行的条件，属于基础题．