Question

20．已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（-x²+2x+8）的定义域为B．
（1）当m=2时，求A∪B、（∁_RA）∩B；
（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由m=2可得A={x|1≤x≤7}，由并集定义可得A∪B的值，由补集定义可得∁_RA={x|x＜1或x＞7}，进而由交集的定义计算可得（∁_RA）∩B，即可得答案；
（2）根据题意，分析可得A⊆B，进而分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m-1＞2m+3，②、当A≠∅时，有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤2m+3}\\{m-1＞-2}\\{2m+3＜4}\end{array}\right.$，分别求出m的取值范围，进而对其求并集可得答案．

解答 解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|-2＜x＜4}，
则A∪B={x|-2＜x≤7}，
又∁_RA={x|x＜1或x＞7}，
则（∁_RA）∩B={x|-2＜x＜1}，
（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，
分2种情况讨论：
①、当A=∅时，有m-1＞2m+3，解可得m＜-4，
②、当A≠∅时，
若有A⊆B，必有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤2m+3}\\{m-1＞-2}\\{2m+3＜4}\end{array}\right.$，解可得-1＜m＜$\frac{1}{2}$，
综上可得：m的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，（2）中注意A可能为空集．