Question

(本小题满分12分）

已知函数，

(I )要使在（0, 1)上单调递增，求a的取值范围；

(II) 当a〉0时，若函数的最小值和最大值分别为1、，试求函数的解析式_；

III 若时，图像上任意一点处的切线倾斜角为，当.时,求a的取值范围

Answer 1

【解】（Ⅰ）f’(x)=-3x²+2ax，……………1分

要使f(x)在(0，1)上单调递增，则x∈(0，1)时，f’(x)≥0恒成立

∴-3x²+2ax≥0，即当x∈(0，1)时，a≥恒成立  　　　　………….2分

∴a≥，即a的取值范围是 　　　　　　　　………………3分

（Ⅱ）由f’(x)= -3x²+2ax，令f’(x)=0，得x=0，或x=a

∵a＞0，∴当x变化时，f’(x) f(x)的变化情况如下表：

x	(-∞，0)	0	(0，)	a	(∞)
f’(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	y极小	↗	y极大	↘

∴y_极小=f(0)=b=1，y_极大=f(a)= -a³+a·a²+1=  　　　　……………….5分

∴b=1，a=1  故f(x)=-x³+x²+1  　　　　　　　　　　　　 ……………………6分

（Ⅲ）当x∈时，tanθ=f’(x)= -3x²+2ax  　　　　　　　　　　……………7分

由θ∈，得0≤f’(x)≤1，即x∈时，0≤-3x²+2ax≤1恒成立……….9分

当时，∈R  当x∈(0，1]时，由-3x²+2ax≥0恒成立，由(Ⅰ)知≥  ………10分

由-3x²+2ax≤1恒成立，a≤(3x+)，∴≤(等号在=时取得)

综上，≤a≤                          ……….12分