Question

如图，直三棱柱ABC-A 11C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．
（1）求证：BC₁∥面A₁DC；
（2）若AA₁=

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，求二面角A₁-CD-B的平面角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AC₁，与AC₁交于点E，连接ED，由已知得DE∥BC₁，由此能证明BC₁∥面A₁DC．
（2）由已知得∠A₁DA为二面角A₁-CD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-CD-B的平面角的大小．

解答： （1）证明：连接AC₁，与AC₁交于点E，连接ED，
则E为AC₁的中点，又点D是AB中点，
则DE∥BC₁，
而DE?平面A₁DC，
BC₁不包含于面A₁DC，
∴BC₁∥面A₁DC．
（2）解：∵二面角A₁-CD-B的平面角与二面角A₁-CD-A的平面角互补，
又∵CD⊥AB，CD⊥AA₁，
∴CD⊥面ADA₁，∴CD⊥A₁D，
∴∠A₁DA为二面角A₁-CD-A的平面角，
在Rt△A₁AD中，∵AA₁=

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=AD，
∴∠A₁DA=45°，
∴二面角A₁-CD-A的平面角的大小为45°，
∴二面角A₁-CD-B的平面角的大小为135°．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的平面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．