Question

已知函数y=

3

sin2x+cos2x+

1

2

（x∈R）．
（Ⅰ）求函数y的最大值及y取最大值时x的集合；
（Ⅱ）求函数y的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得y=2sin(2x+

π

6

)+

1

2

，由三角函数的性质易得最值和x值；
（Ⅱ）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得单调递减区间．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得y=

3

sin2x+cos2x+

1

2

=2sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∵x∈R，∴2x+

π

6

∈R
∴函数y的最大值是2+

1

2

=

5

2

，此时2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

∴y取最大值时x的取值集合是{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=2sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴函数y的单调递减区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）

点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值，属基础题．