Question

已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y-1=0对称，圆心在第二象限，半径为

2

（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C关于直线x+y-1=0对称，得到圆心在直线上代入得到①，把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于

2

得到②，①②联立求出D和E，即可写出圆的方程；
（Ⅱ）设l：x+y=a，根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a即可．

解答：解：（Ⅰ）由x²+y²+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为（-

D

2

，-

E

2

）
∵圆C关于直线x+y-1=0对称
∴点（-

D

2

，-

E

2

）在直线x+y-1=0上
即D+E=-2，①且

D2+E2-12

4

=2②
又∵圆心C在第二象限∴D＞0，E＜0
由①②解得D=2，E=-4
∴所求圆C的方程为：x²+y²+2x-4y+3=0
（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设l：x+y=a
∵圆C：（x+1）²+（y-2）²=2
∴圆心C（-1，2）到切线的距离等于半径

2

，
即|

-1+2-a

2

|=

2

，∴a=-1或a=3
所求切线方程x+y=-1或x+y=3

点评：考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力，理解直线与圆相切即为圆心到直线的距离等于半径．