Question

17．已知函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数f'（x）=3x²-x-2=0，得出函数的单调区间即可；（2）可判断函数的最大值在f（-$\frac{2}{3}$）或f（2）取得，得出2+c＜c²，求解即可．

解答 解：（1）f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，
∴f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{2}{3}$或x＞1，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{2}{3}$＜x＜1，
∴函数在（-∞，-$\frac{2}{3}$）递增，在（-$\frac{2}{3}$，1）上递减，在（1，+∞）递增；
（2）由（1）得：函数在x=-$\frac{2}{3}$处取得极大值，
f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}$+c＜f（2）=2+c，
∴在[-1，2]上，2+c＜c²，
∴c＜-1或c＞2．

点评 考查了利用导函数判断函数在区间内的最值问题．属于中档题型，应熟练掌握．