Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点A为椭圆的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，．
（1）求直线BD的方程；
（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；
（3）是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点P，B在椭圆上，，可得点B的坐标，利用两点式，我们可以求直线BD的方程；
（2）确定过P，A，B三点的圆C的圆心与半径，求出圆心到直线BD的距离，由此，我们可以得到直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；
（3）假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦，则点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y=x-1上，当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且|PM|=|PN|，从而就可以得出结论
解答：解：（1）因为，且A（3，0），所以|BP|=|DA|=2，
而B，P关于y轴对称，所以点P的横坐标为1，从而得P（1，2），B（-1，2）…（3分）
所以直线BD的方程为x+y-1=0…（5分）
（2）线段BP的垂直平分线方程为x=0，线段AP的垂直平分线方程为y=x-1，
所以圆C的圆心为（0，-1），且圆C的半径为…（8分）
又圆心（0，-1）到直线BD的距离为，
所以直线BD被圆C截得的弦长为…（10分）
（3）假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦，
则点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y=x-1上，
当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且|PM|=|PN|…（12分）
设M（0，b），则N（2，4-b），根据N（2，4-b）在直线y=x-1上，
∴4-b=2-1，∴b=3…（14分）
所以，
故存在这样的两个圆，且方程分别为x²+（y-3）²=2，（x-2）²+（y-1）²=2…（16分）
点评：求直线方程的关键是求出点的坐标，求圆中的弦长要充分利用圆的性质，对于探究性问题，总是假设存在，再确定是否存在．