Question

8．计算：
（1）log₃$\frac{4\sqrt{27}}{3}$log₅[4${\;}^{\frac{1}{2}lo{g}_{2}10}$-（3$\sqrt{3}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$-7${\;}^{lo{g}_{7}2}$]
（2）（log₃2+log₉2）（log₄3+log₈3）；
（3）$\frac{1}{5}$（lg32+log₄16+6lg$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{5}$lg$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 根据对数的运算法则以及对数的换底公式进行化简即可．

解答 解：（1）log₃$\frac{4\sqrt{27}}{3}$log₅[4${\;}^{\frac{1}{2}lo{g}_{2}10}$-（3$\sqrt{3}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$-7${\;}^{lo{g}_{7}2}$]
=（log₃3${\;}^{\frac{3}{4}}$-log₃3）log₅[2${\;}^{lo{g}_{2}10}$-3${\;}^{\frac{3}{2}×}$${\;}^{\frac{2}{3}}$-2]
=（$\frac{3}{4}$-1）log₅（10-3-2）=$-\frac{1}{4}$log₅5=$-\frac{1}{4}$．
（2）（log₃2+log₉2）•（log₄3+log₈3）
=（log₃2+$\frac{1}{2}$log₃2）•（$\frac{1}{2}$log₂3+$\frac{1}{3}$log₂3）
=${log}_{3}{2}^{\frac{3}{2}}•{log}_{2}{3}^{\frac{5}{6}}$
=$\frac{3}{2}×\frac{5}{6}=\frac{5}{4}$；
（3）$\frac{1}{5}$（lg32+log₄16+6lg$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{5}$lg$\frac{1}{5}$
=$\frac{1}{5}$（lg32+2+lg（$\frac{1}{2}$）⁶）+$\frac{1}{5}$lg$\frac{1}{5}$
=$\frac{1}{5}$（lg（32×$\frac{1}{64}$）+2）+$\frac{1}{5}$lg$\frac{1}{5}$
=$\frac{1}{5}$lg$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$lg$\frac{1}{5}$
=$\frac{1}{5}$（lg$\frac{1}{2}$+lg$\frac{1}{5}$）+$\frac{2}{5}$
=$\frac{1}{5}$lg（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$）+$\frac{2}{5}$
=$\frac{1}{5}$lg10^-1+$\frac{2}{5}$=-$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查对数式的化简和求值，根据对数的运算法则是解决本题的关键．