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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=2，EF=
    		2
    ，CD=
    		3
    ．若 
    AC
    •
    BD
    =13，则
    AD
    •
    BC
    的值为
     
    ．
    分析：利用两个向量的加减法及其几何意义可得
    EF
    =
    AB
    +
    DC
    2
    ，平方可得
    AB
    •
    DC
    =
    1
    2
    ．又由
    AC
    •
    BD
    =13，可得
    OC
    •
    OD
    +
    OA
    •
    OB
    =13+
    OB
    •
    OC
    +
    OA
    •
    OD
    ．代入
    AD
    •
    BC
    =（
    OD
    -
    OA
    ）•（
    OC
    -
    OB
    ），化简求得结果．
    解答：精英家教网解：如图所示：设AB∩DC=O，∵
    AB
    =
    AE
    +
    EF
    +
    FB
    =
    EF
    +
    AD
    -
    BC
    2
    ，
    DC
    =
    DE
    +
    EF
    +
    FC
    =
    EF
    +
    BC
    -
    AD
    2
    ，
    两式相加可得
    EF
    =
    AB
    +
    DC
    2
    ．
    ∵AB=2，EF=
    		2
    ，CD=
    		3
    ，平方可得 2=
    4+3+2
    AB
    •
    DC
    2
    ∴
    AB
    •
    DC
    =
    1
    2
    ．
    又∵
    AC
    •
    BD
    =（
    OC
    -
    OA
    ）•（
    OD
    -
    OB
    ）=
    OC
    •
    OD
    -
    OB
    •
    OC
    -
    OA
    •
    OD
    +
    OA
    •
    OB
    =13，
    ∴
    OC
    •
    OD
    +
    OA
    •
    OB
    =13+
    OB
    •
    OC
    +
    OA
    •
    OD
    ．
    ∴
    AD
    •
    BC
    =（
    OD
    -
    OA
    ）•（
    OC
    -
    OB
    ）=
    OC
    •
    OD
    -
    OB
    •
    OD
    -
    OA
    •
    OC
    +
    OA
    •
    OB
     
    =
    OC
    •
    OD
    +
    OA
    •
    OB
    -
    OB
    •
    OD
    -
    OA
    •
    OC
    =13+
    OB
    •
    OC
    +
    OA
    •
    OD
    -
    OB
    •
    OD
    -
    OA
    •
    OC

    =13+
    OB
    •
    DC
    +
    OA
    •
    CD
    =13+
    DC
    •
    AB
    =13+
    1
    2
    =13.5，
    故答案为：13.5．
    点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．
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    如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则(
    AB
    +
    DC
    )•(
    AC
    +
    BD
    )    =
     
    ．
    精英家教网

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    （2）求S的最大值及此时θ角的值．

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    在平面四边形ABCD中，已知AB=3，DC=2，点E，F分别在边AD，BC上，且
    AD
    =3
    AE
    ，
    BC
    =3
    BF
    ．若向量
    AB
    与
    DC
    的夹角为60°，则
    AB
    •
    EF
    的值为
     
    ．

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