Question

中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且经过点Q（1，）．若分别过椭圆的左右焦点F₁，F₂的动直线l₁、l₂相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄满足k₁+k₂=k₃+k₄． 
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为，则由题意解得即可；
（2）当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）．当直线l₁、l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂．可得l₁的方程为y=m₁（x+1），l₂的方程为y=m₂（x-1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系，再利用斜率计算公式和已知即可得出m₁与m₂的关系，进而得出答案．
解答：解：（1）设椭圆方程为，
则由题意解得
∴椭圆方程为．
（2）当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）．
当直线l₁、l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂．
∴l₁的方程为y=m₁（x+1），l₂的方程为y=m₂（x-1）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立，得到，
∴，．
同理，．（*）
∵=，，，．
又满足k₁+k₂=k₃+k₄．
∴=2m₂-，
把（*）代入上式化为：-．（m₁≠m₂）．
化为m₁m₂=-2．
设点P（x，y），则，（x≠±1）
化为．
由当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）也满足，
∴点P在椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|=为定值．
点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得出根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键．