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(2013•安庆三模)如图,倾斜角为θ的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P,单位圆与坐标轴交于点A(-1,0),点B(0,-1),PA与y轴交于点N,PB与x轴交于点M,设
PO
=x
PM
+y
PN
(x,y∈R)
(1)用角θ表示点M、点N的坐标;
(2)求x+y的最小值.
分析:(1)设P(cosθ,sinθ),N(0,t),
AN
Ap
(λ为常数).由向量的坐标运算化简解出t=
sinθ
1+cosθ
,由此即可得到角θ表示点M、点N的坐标的表达式;
(2)由(1)得到向量
PM
PN
关于θ的坐标表示式,代入
PO
=x
PM
+y
PN
得到关于θ、x、y的方程组,化简整理可得x+y=
2+sinθ+cosθ
1+sinθ+cosθ
=1+
1
1+
2
sin(θ+
π
4
)
,由此结合0<θ<
π
2
,即可算出x+y的最小值为
2
解答:解:(1)设P(cosθ,sinθ),N(0,t)
根据P、N、A共线,设
AN
Ap
,(λ为常数) …①
又∵A(-1,0),∴
AN
=(1,t)
AP
=(cosθ+1,sinθ),
代入①,解得t=
sinθ
1+cosθ

∴N(0,
sinθ
1+cosθ
),同理可得M(
cosθ
1+sinθ
,0).…(4分)
(2)由(1)知
PO
=(-cosθ,-sinθ),
PM
=(
cosθ
1+sinθ
-cosθ,-sinθ)=(
-sinθcosθ
1+sinθ
,-sinθ)
PN
=(-cosθ,
-sinθcosθ
1+cosθ
)
,…(6分)
代入
PO
=x
PM
+y
PN
,得:
-cosθ=-
sinθcosθ
1+sinθ
x+(-cosθ)y
-sinθ=(-sinθ)x-
sinθcosθ
1+cosθ
y

整理得:xsinθ+(1+sinθ)y=1+sinθ…②,(1+cosθ)x+ycosθ=1+cosθ…③.
②+③,解得:x+y=
2+sinθ+cosθ
1+sinθ+cosθ
=1+
1
1+sinθ+cosθ
=1+
1
1+
2
sin(θ+
π
4
)
,…(10分)
由点P在第一象限得0<θ<
π
2

所以当且仅当θ=
π
4
时,x+y的最小值为
2
.     …(12分)
点评:本题在坐标系的单位圆中给出几何关系式,求用θ表示点M、点N的坐标表示式和x+y的最小值.着重考查了平面向量的坐标运算、在实际问题中建立三角函数模型和三角函数的化简求最值等知识,属于中档题.
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