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19.已知两定点A(-2,0)和B(2,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+4上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(  )
A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$B.$\frac{\sqrt{10}}{5}$C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

分析 由题意知,要使椭圆C的离心率取最大值,则a取最小值.即|PA|+|PB|取最小值.利用点的对称性求出|PA|+|PB|的最小值即可解答本题.

解答 解:由题意得,
2c=|AB|=4.
∴c=2.
2a=|PA|+|PB|.
当a取最小值时,椭圆C的离心率有最大值.
设点A(-2,0)关于直线l:y=x+4的对称点为A′(x,y).
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x+2}=-1}\\{\frac{y}{2}=\frac{x-2}{2}+4}\end{array}\right.$.
解得,$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=2}\end{array}\right.$.
∴A′(-4,2).
则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|.
∴2a≥|A′B|=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$.
∴当a=$\sqrt{10}$时,椭圆有最大离心率.
此时,$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
故选:B.

点评 本题考查椭圆的基本性质,动点到定点距离的最值等知识,属于中档题.

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