Question

【题目】已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；
（2）当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设点A（a，0），B（0，b），且a＞0，b＞0，

直线l的方程为： + =1，

且直线l过点M（1，1），∴ + =1①；

∴a+b=（a+b）（ + ）=2+ + ≥2+2 =4，

当且仅当 = ，即a=b时取“=”，

将a=b代入①式得a=2，b=2；

∴直线l的方程为x+y﹣2=0，

即|OA|+|OB|取最小值4时，l的方程为x+y﹣2=0

（2）解：设直线方程为y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），

则A（﹣ +1，0），B（0，1﹣k），

∴|MA|2+|MB|2=[（﹣ ）2+1]+[1+（﹣k）2]=2+k2+ ≥2+2k2 =4，

当且仅当k=﹣1时取“=”；

∴当|MA|2+|MB|2取得最小值4时，直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0

【解析】（1）设出点A的坐标，写出直线AB的方程，利用基本不等式求出a+b=|OA|+|OB|的最小值，写出对应的直线方程；（2）设出直线方程为y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），求出|MA|2+|MB|2的最小值，写出对应的直线方程．
【考点精析】认真审题，首先需要了解点斜式方程(直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为则：)．