试题分析:
(1)解法一:根据
是
与
的等差中项,利用等差中项得到
,(
)①,
当
时有
②,则①-②可得
,从而可得数列通项.
解法二:根据
是
与
的等差中项,利用等差中项得到
,(
)①,根据该式的结构特征,利用构造法,可构造出等比数列
,从而求得
,进而利用
得到数列的通项.
(2)根据(1)的结论可知,数列是等比数列,所以可以得到其前
项和;代入
化简,讨论
的奇偶发现,
为奇数时,恒成立;
为偶数时,可将其转化为二次函数在固定区间恒成立问题,利用单调性可判断是否存在这样的正整数
.
试题解析:(1)解法一:因为
是
与
的等差中项,
所以
(
),即
,(
)①
当
时有
②
①-②得
,即
对
都成立
又根据①有
即
,所以
所以
. 所以数列
是首项为1,公比为
的等比数列.
解法二: 因为
是
与
的等差中项,
所以
(
),即
,(
)
由此得
(
),
又
,所以
(
),
所以数列
是以
为首项,
为公比的等比数列.
得
,即
(
),
所以,当
时,
,
又
时,
也适合上式,所以
.
(2)根据(1)的结论可知,
数列
是首项为1,公比为
的等比数列,
所以其前
项和为
.
原问题等价于
(
)①恒成立.
当
为奇数时,不等式左边恒为负数,右边恒为正数,所以对任意正整数
不等式恒成立;
当
为偶数时,①等价于
恒成立,
令
,有
,则①等价于
在
恒成立,
因为
为正整数,二次函数
的对称轴显然在
轴左侧,
所以当
时,二次函数为增函数,故只须
,解得
,
,
所以存在符合要求的正整数
,且其最大值为11.
求通项;构造等比数列法;分类讨论;二次函数在固定区间恒成立.