Question

3．点P（x，y）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的任一点，求2x+y的取值范围是[-$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$]．

Answer 1

分析 动点P（x，y）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，可设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π]．于是2x+y=4cosθ+sinθ=$\sqrt{17}$sin（θ+φ），即可得出．

解答 解：∵动点P（x，y）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，
∴可设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π]．
∴2x+y=4cosθ+sinθ=$\sqrt{17}$sin（θ+φ）．
∴2x+y∈[-$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$]．
故答案为：[-$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$]．

点评 本题考查了椭圆的参数方程、两角和差的正弦公式及其单调性，属于基础题．