【题目】已知数列的前
项和为
,且满足
;数列
的前
项和为
,且满足
,
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在正整数,使得
恰为数列
中的一项?若存在,求满足要求的那几项;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)满足要求的
为
.
【解析】
(1)由当n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,an=Sn﹣Sn﹣1,即可求得an=2an﹣1,则数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列;
(2)由.采用“累乘法”即可求得当n≥2时,bn+1﹣bn﹣1=2,数列{bn}的奇数项,偶数项分别成等差数列,b3=T2=b1+b2=3,b1+b3=2b2,数列{bn}是以b1=1为首项,1为公差的等差数列,即可求得数列{an}、{bn}的通项公式;
(3)设cn,作差比较大小,cn>cn+1>1,根据数列的单调性,即可求得存在n=2,使得b7=c2,b3=c3.
(1)由Sn=2an﹣2,则当n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,
两式相减得:an=2an﹣2an﹣1,则an=2an﹣1,
由S1=2a1﹣2,则a1=2,
∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,则an=2n,
(2)由.
则,
,
,…,
.
以上各式相乘,,则2Tn=bnbn+1,
当n≥2时,2Tn﹣1=bn﹣1bn,两式相减得:2bn=bn(bn+1﹣bn﹣1),即bn+1﹣bn﹣1=2,
∴数列{bn}的奇数项,偶数项分别成等差数列,
由,则b3=T2=b1+b2=3,b1+b3=2b2,
∴数列{bn}是以b1=1为首项,1为公差的等差数列,
∴数列{bn}的通项公式bn=n;
(3)当n=1时,无意义,
设cn,(n≥2,n∈N*),
则cn+1﹣cn0,
即cn>cn+1>1,
显然2n+n+1>2n﹣(n+1),则c2=7>c3=3>c4>…>1,
∴存在n=2,使得b7=c2,b3=c3,
下面证明不存在c2=2,否则,cn2,即2n=3(n+1),
此时右边为3的倍数,而2n不可能是3的倍数,故该不等式成立,
综上,满足要求的bn为b3,b7.
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【题目】甲乙两地的高速公路全长166千米,汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地,车速(千米/时).已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分为
,固定部分为220元.
(1)把全程运输成本(元)表示为速度
(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本为多少元?(结果保留整数)
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【题目】已如椭圆的左、右焦点分别为
、
,
为
上的动点.
(1)若,设点
的横坐标为
,试用解析式将
表示成
的函数;
(2)试根据的不同取值,讨论满足
为等腰锐角三角形的点
的个数.
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【题目】2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用
(百万元)和销量
(万盒)的统计数据如下:
研发费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 15 | 18 | 21 |
销量 | 1 | 1 | 2 | 2.5 | 3.5 | 3.5 | 4.5 | 6 |
(1)求与
的相关系数
精确到0.01,并判断
与
的关系是否可用线性回归方程模型拟合?(规定:
时,可用线性回归方程模型拟合);
(2)该药企准备生产药品的三类不同的剂型
,
,
,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测.第一次检测时,三类剂型
,
,
合格的概率分别为
,
,
,第二次检测时,三类剂型
,
,
合格的概率分别为
,
,
.两次检测过程相互独立,设经过两次检测后
,
,
三类剂型合格的种类数为
,求
的数学期望.
附:(1)相关系数
(2),
,
,
.
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【题目】据统计,仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送,近5万多名快递员奔跑在一线,快递网点人员流动性也较强,各快递公司需要经常招聘快递员,保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员每天送货单数统计表:
送货单数 | 30 | 40 | 50 | 60 | |
天数 | 甲 | 10 | 10 | 20 | 10 |
乙 | 6 | 14 | 24 | 6 |
已知这两家快递公司的快递员日工资方案分别为:甲公司规定底薪元,每单抽成
元;乙公司规定底薪
元,每日前
单无抽成,超过
单的部分每单抽成
元.
(1)分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资(单位:元)与送货单数
的函数关系式;
(2)小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作,如果仅从日收入的角度考虑,以这50天的送货单数为样本,将频率视为概率,请你利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
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【题目】下列说法错误的是( )
A.若样本的平均数为5,标准差为1,则样本
的平均数为11,标准差为2
B.身高和体重具有相关关系
C.现有高一学生30名,高二学生40名,高三学生30名,若按分层抽样从中抽取20名学生,则抽取高三学生6名
D.两个变量间的线性相关性越强,则相关系数的值越大
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【题目】给出下面类比推理:
①“若2a<2b,则a<b”类比推出“若a2<b2,则a<b”;
②“(a+b)c=ac+bc(c≠0)”类比推出“ (c≠0)”;
③“a,b∈R,若a-b=0,则a=b”类比推出“a,b∈C,若a-b=0,则a=b”;
④“a,b∈R,若a-b>0,则a>b”类比推出“a,b∈C,若a-b>0,则a>b(C为复数集)”.
其中结论正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字,
,
,这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取
次,每次抽取
张,将抽取的卡片上的数字依次记为
,
,
.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字,
,
不完全相同”的概率.
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