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    设函数f（x）=
    1
    4
    x2+bx-
    3
    4
    ，已知不论α、β为何实数，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0，对正数数列{an}，其前n项和Sn=f（an）（n∈N+）．
    （1）求b的值；
    （2）求数列{an}的通项公式；
    （3）问是否存在等比数列{bn}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．
    （4）若
    		cn
    =
    1
    1+an
    （n∈N+），且数列{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与
    1
    6
    的大小，并给予证明．
    分析：（1）令α=0，β=
    π
    2
    ，根据f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0，可知f（1）=0求得b．
    （2）根据函数解析式分别表示出Sn和Sn+1，进而根据an+1=Sn+1-Sn整理得（an+1+an）（an+1-an-2）=0进而判断出an+1-an=2，推断数列{an}是等差数列，求得a1利用等差数列的通项公式求得an．
    （3）假设存在等比数列{bn}，使得a1b1+a2b2++anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立，令n=1，2，求得b1和b2进而求的数列的公比，进而可得数列{bn}的通项公式，令Sn=3×2+5×22+…+（2n+1）2n，利用错位相减法求得Sn=2n+1（2n-1）+2．证明出a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立．
    （4）把（2）中求得的an代入
    		cn
    =
    1
    1+an
    中求得cn，利用裂项法求得Tn=
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    2n+3
    )    进而可证明Tn＜
    1
    6
    ．
    解答：解：（1）由对任意实数α、β，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0，
    可得恒有f（cos0）≤0，且f（2-sin
    π
    2
    ）≥0，即f（1）=
    1
    4
    +b-
    3
    4
    =0，可得b=
    1
    2
    ；
    （2）由Sn=f（an）=
    1
    4
    an2+
    1
    2
    an-
    3
    4
    （n∈N+），可得Sn+1=
    1
    4
    an+12+
    1
    2
    an+1-
    3
    4

    故an+1=Sn+1-Sn=
    1
    4
    （an+12-an2）+
    1
    2
    （an+1-an），即（an+1+an）（an+1-an-2）=0，
    又{an}是正数数列，故an+1+an＞0，∴an+1-an=2，即数列{an}是等差数列．
    又a1=
    1
    4
    a12+
    1
    2
    a1-
    3
    4
    ，且a1＞0，可得a1=3，故an=3+2（n-1）=2n+1；
    （3）假设存在等比数列{bn}，使得a1b1+a2b2++anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立，
    令n=1，2，可得b1=2，b2=4，故{bn}的公比为2，从而bn=2×2n-1=2n．
    令Sn=3×2+5×22+…+（2n+1）2n⇒Sn=2n+1（2n-1）+2
    故a1b1+a2b2++anbn=2n+1（2n-1）+2对于一切正整数n都成立．
    （4）
    		cn
    =
    1
    1+an
    ⇒cn=(
    1
    1+an
    )2=
    1
    (1+an)2
    Tn
    =
    n
    i=1
     
    1
    (2i+2)2
    ＜
    n
    i=1
     
    1
    (2i+2)2-1
    =
    n
    i=1
     
    1
    (2i+1)(2i+3)
    ．
    =
    1
    2
    n
    i=1
     (
    1
    2i+1
    -
    1
    2i+3
    )    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    2n+3
    )＜
    1
    6
    ．
    点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．涉及了数列的求和、不等式等问题，考查了学生解决实际问题的能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=lnx-ax+1，其中a为常数．
    （1）求函数f（x）的单调区间．
    （2）求证：
    ln2
    22
    +
    ln3
    32
    +…+
    lnn
    n2
    ＜
    2n2-n-1
    4(n+1)
    (n∈N，n≥2)    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=exμ（x），
    （I）若μ（x）=x2-
    52
    x+2的极小值；
    （Ⅱ）若μ（x）=x2+ax-3-2a，设a＞0，函数g（x）=（a2+14）ex+4，若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜1成立，求a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]； ③当x∈[0，
    1
    4
    ]    时，f（x）≥2x恒成立．则f(
    3
    7
    )+f(
    5
    9
    )    =
    1
    1
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•牡丹江一模）下列命题中，正确的是
    （1）（2）（3）
    （1）（2）（3）

    （1）平面向量
    a
    与
    b
    的夹角为60°，
    a
    =(2，0)    ，|
    b
    |=1    ，则|
    a
    +
    b
    |    =
    		7

    （2）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC，bcosB，ccosA成等差数列则B=
    π
    3

    （3）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
    OP
    =
    OA
    +λ(
    AB
    sinC
    +
    AC
    sinB
    )    ，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心
    （4）设函数f（x）=
    x-[x]，x≥0
    f(x+1)，x＜0
    其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.3]=-2，[1.3]=1，则函数y=f（x）-
    1
    4
    x-
    1
    4
    不同零点的个数2个．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=
    1
    2
    •（
    1
    4
    ）x-1+a•（
    1
    2
    ）x-a+2
    （1）若a=4，解不等式f（x）＞0；
    （2）若方程f（x）=0有负数根，求a的取值范围．

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