Question

已知双曲线c：，以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N （异于原点O），若|MN|=，则双曲线C的离心率 是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

C
分析：连接NF，设MN交x轴于点B，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，求出N（，），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立关于a、b、c的关系式，化简整理可得c=2a，由此即可得到该双曲线的离心率．
解答：连接NF，设MN交x轴于点B
∵⊙F中，M、N关于OF对称，
∴∠NBF=90°且|BN|=|MN|==，
设N（m，），可得=，得m=
Rt△BNF中，|BF|=c-m=
∴由|BF|²+|BN|²=|NF|²，得（）²+（）²=c²
化简整理，得b=c，可得a=，故双曲线C的离心率e==2
故选：C
点评：本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知圆F被两条渐近线截得弦长的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．