分析 (1)直线x-my+2m+1=0可化为x+1+(2-y)m=0,由$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{2-y=0}\end{array}\right.$可得直线所过定点(-1,2)在第二象限,可得直线总经过第二象限;
(2)由题意要使直线不经过第四象限,则需直线无斜率或斜率>0,解关于m的不等式可得;
(3)由方程可得截距,可得$S=\frac{1}{2}(2m+1)\frac{2m+1}{m}=\frac{1}{2}(4m+\frac{1}{m})+2≥4$,由基本不等式等号成立的条件可得.
解答 解:(1)直线x-my+2m+1=0可化为x+1+(2-y)m=0,
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{2-y=0}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$,
∴直线过定点(-1,2),在第二象限,
∴直线总经过第二象限;
(2)由(1)知直线直线过定点(-1,2),
要使直线不经过第四象限,则需直线无斜率或斜率>0,
∴m=0,或$\frac{1}{m}$>0,解得m≥0;
(3)由题意可得m>0,把x=0代入x-my+2m+1=0可得y=$\frac{2m+1}{m}$,
把y=0代入x-my+2m+1=0可得x=-(2m+1),
∴$S=\frac{1}{2}(2m+1)\frac{2m+1}{m}=\frac{1}{2}(4m+\frac{1}{m})+2≥4$,
当且仅当$m=\frac{1}{2}$时“=”成立,
此时直线方程为y=2x+4,即2x-y+4=0
点评 本题考查直线的一般式方程和截距式方程,涉及基本不等式求最值,属中档题.
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