Question

20．已知直线x-my+2m+1=0．
（1）求证：无论m为何实数，直线总经过第二象限；
（2）为使直线不经过第四象限，求m的取值范围．
（3）若直线交x轴于负半轴、交y轴于正半轴，交点分别为A、B，求直线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值，并求出此时的直线方程．

Answer 1

分析 （1）直线x-my+2m+1=0可化为x+1+（2-y）m=0，由$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{2-y=0}\end{array}\right.$可得直线所过定点（-1，2）在第二象限，可得直线总经过第二象限；
（2）由题意要使直线不经过第四象限，则需直线无斜率或斜率＞0，解关于m的不等式可得；
（3）由方程可得截距，可得$S=\frac{1}{2}（2m+1）\frac{2m+1}{m}=\frac{1}{2}（4m+\frac{1}{m}）+2≥4$，由基本不等式等号成立的条件可得．

解答 解：（1）直线x-my+2m+1=0可化为x+1+（2-y）m=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{2-y=0}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴直线过定点（-1，2），在第二象限，
∴直线总经过第二象限；
（2）由（1）知直线直线过定点（-1，2），
要使直线不经过第四象限，则需直线无斜率或斜率＞0，
∴m=0，或$\frac{1}{m}$＞0，解得m≥0；
（3）由题意可得m＞0，把x=0代入x-my+2m+1=0可得y=$\frac{2m+1}{m}$，
把y=0代入x-my+2m+1=0可得x=-（2m+1），
∴$S=\frac{1}{2}（2m+1）\frac{2m+1}{m}=\frac{1}{2}（4m+\frac{1}{m}）+2≥4$，
当且仅当$m=\frac{1}{2}$时“=”成立，
此时直线方程为y=2x+4，即2x-y+4=0

点评 本题考查直线的一般式方程和截距式方程，涉及基本不等式求最值，属中档题．