Question

8．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得a²=b²+c²+bc，再由余弦定理得A=120°；
（Ⅱ）由余弦定理可得（b+c）²-bc=4，令b+c=t，bc=t²-4（t＞2），用均值不等式可得t的范围，进而得到周长的范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
即a²=b²+c²+bc，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
故cosA=-$\frac{1}{2}$，由0°＜A＜180°，可得A=120°；
（Ⅱ）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc
=（b+c）²-bc=4，
令b+c=t，bc=t²-4（t＞2），由基本不等式可得t²≥4（t²-4），
解得2＜t≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则△ABC周长的取值范围为（4，2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．