分析 由题意可得f(x)<2可得-2<x3-ax<2,即为-x2-$\frac{2}{x}$<-a<-x2+$\frac{2}{x}$,等价为(-x2-$\frac{2}{x}$)min<-a<(-x2+$\frac{2}{x}$)max,分别判断不等式左右两边函数的单调性,求得最值,解不等式即可得到a的范围.
解答 解:当x∈[1,2]时,f(x)=|x3-ax|,
由f(x)<2可得-2<x3-ax<2,
即为-x2-$\frac{2}{x}$<-a<-x2+$\frac{2}{x}$,
设g(x)=-x2-$\frac{2}{x}$,
导数为g′(x)=-2x+$\frac{2}{{x}^{2}}$,
当x∈[1,2]时,g′(x)≤0,
即g(x)递减,(可由单调性的定义得到),
可得g(x)min=-4-1=-5,
即有-a>-5,即a<5;
设h(x)=-x2+$\frac{2}{x}$,导数为h′(x)=-2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$,
当x∈[1,2]时,h′(x)<0,
即h(x)递减,(可由减+减=减得到),
可得h(x)max=-1+2=1.
即有-a<1,即a>-1.
综上可得,a的范围是-1<a<5.
故答案为:(-1,5).
点评 本题考查不等式成立问题的解法,注意运用转化思想和参数分离法,构造函数法,运用单调性解决,属于中档题和易错题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -$\sqrt{3}$ | B. | -$\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
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