Question

若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．
（1）求的极值；
（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当时，取得极小值0（2）存在隔离直线

解析试题分析：(1) ，
．        
当时，．         
当时，，此时函数递减； 
当时，，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为．  
(2) ：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．          
设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．                                
由，可得当时恒成立．
，                             
由，得．                   
下面证明当时恒成立．
令，则
，                
当时，．
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．   
从而，即恒成立．
∴函数和存在唯一的隔离直线．
考点：函数极值最值及不等式恒成立问题
点评：第二问中首先找到两曲线的交点是求解本题的关键，给定信息中满足的不等式恒成立将其转化为求函数最值满足大于等于零或小于等于零，这样即可利用函数导数这一工具来求解