Question

已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）可求得直线l的方程及直线l在y轴上的截距，依题意，

k≥0 1+2k≥0

从而可解得k的取值范围；
（2）依题意可求得A（-

1+2k

k

，0），B（0，1+2k），S=

1

2

（4k+

1

k

+4），利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：（1）直线l的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则

k≥0 1+2k≥0

，解得k的取值范围是：k≥0…（5分）
（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：-

1+2k

k

，在y轴上的截距为1+2k，
∴A（-

1+2k

k

，0），B（0，1+2k），又-

1+2k

k

＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=

1

2

|OA||OB|=

1

2

×

1+2k

k

（1+2k）=

1

2

（4k+

1

k

+4）≥

1

2

（4+4）=4，当且仅当4k=

1

k

，即k=

1

2

时取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4=0…（10分）

点评：本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形的面积，考查基本不等式的应用，属于中档题．