Question

将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作，沿线裁去阴影部分，把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱（其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦），设水箱的高为x米，容积为y立方米．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）如何设计x的大小，使得水箱装的水最多？

Answer 1

分析：（1）根据①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦），可得水箱底面长宽，从而可表示水箱的容积，即y关于x的函数关系式；
（2）利用导数求最值，由于函数的单峰函数，故在导数为0处取极值，且为最值．

解答：解：（1）设水箱的高为x（米），则水箱底面长宽分别为

6-2x

2

=3-x（米），2-2x（米）
故水箱的容积为y=2x（3-x）（1-x）=2x³-8x²+6x（0＜x＜1）
（2）由y'=6x²-16x+6=0，得：x=

4± 7

3

所以：y=2x³-8x²+6x（0＜x＜1）在(0，

4- 7

3

)上单调递增，在(

4- 7

3

，1)上单调递减
所以x=

4- 7

3

时水箱的容积最大．

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查导数法求函数的最值，有一定的综合性．