Question

9．如图，在四棱锥C-ABDE中，F为CD的中点，BD⊥平面ABC，BD∥AE且BD=2AE．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）已知AB=BC=CA=BD=2，求平面ECD与平面ABC所成的角（锐角）的大小．

Answer 1

分析 （1）取BC中点G点，连接AG，FG，由F，G分别为DC，BC中点，知FG∥BD且FG=$\frac{1}{2}$BD，又AE∥BD且AE=$\frac{1}{2}$BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能够证明EF∥平面ABC．
（2）求出平面CED的法向量和平面ABC的法向量，由此利用向量法能求出面CED与面ABC所成的二面角（锐角）的大小．

解答 （1）证明：取BC中点G点，连接AG，FG，
∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FG∥BD且FG=$\frac{1}{2}$BD，
又AE∥BD且AE=$\frac{1}{2}$BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，
又∵AG?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（2）解：设AE=1，以AB为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（0，0，0），B（0，2，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，2），
E（0，0，1），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，1），
$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{BD}$=（0，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
∴EF⊥CD，EF⊥BD，
∵CD?平面BCD，BD?平面BCD，CD∩BD=D，
∴EF⊥平面BCD．
设平面CED的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-\sqrt{3}x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面CED与面ABC所成的二面角（锐角）的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
∴面CED与面ABC所成的二面角（锐角）的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用