Question

(本大题满分13分)如图，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.
（Ⅰ）设,当矩形的面积最大时，求的值；
（Ⅱ）求按这种裁剪方法的原材料利用率．

Answer 1

解：（Ⅰ）先求矩形面积的最大值：
设，，则，
，∴当，即时，
此时，， ……………………6分
（Ⅱ）过Q点作垂足为S，设
在中，有，
则，
∴
……… 8分
令，∵，∴，
此时，则，
当时，的最大值为  ………………………… 10分
∴方案裁剪出内接五边形面积最大值为   ，即利用率=……12分

略