Question

4．已知函数$f（x）={cos^2}\;\frac{x}{2}-{sin^2}\;\frac{x}{2}\;+sin\;x$，若${x_0}\;∈（{0\;，\;\frac{π}{4}}）$且$f（{x_0}）=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，则cos2x₀=$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cosx+sinx，由$f（{x_0}）=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，可得sinx₀+cosx₀=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，两边平方解得：sin2x₀=$\frac{7}{25}$，由${x_0}\;∈（{0\;，\;\frac{π}{4}}）$，可得2x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），从而可求cos2x₀=$\sqrt{1-si{n}^{2}2{x}_{0}}$的值．

解答 解：∵$f（x）={cos^2}\;\frac{x}{2}-{sin^2}\;\frac{x}{2}\;+sin\;x$=cosx+sinx，
又∵$f（{x_0}）=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，即：sinx₀+cosx₀=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
∴两边平方可得：1+sin2x₀=$\frac{32}{25}$，解得：sin2x₀=$\frac{7}{25}$，
∵${x_0}\;∈（{0\;，\;\frac{π}{4}}）$，
∴2x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cos2x₀=$\sqrt{1-si{n}^{2}2{x}_{0}}$=$\sqrt{1-（\frac{7}{25}）^{2}}$=$\frac{24}{25}$．
故答案为：$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，同角三角函数关系式的应用，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．