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4.已知函数$f(x)={cos^2}\;\frac{x}{2}-{sin^2}\;\frac{x}{2}\;+sin\;x$,若${x_0}\;∈({0\;,\;\frac{π}{4}})$且$f({x_0})=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$,则cos2x0=$\frac{24}{25}$.

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=cosx+sinx,由$f({x_0})=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$,可得sinx0+cosx0=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$,两边平方解得:sin2x0=$\frac{7}{25}$,由${x_0}\;∈({0\;,\;\frac{π}{4}})$,可得2x0∈(0,$\frac{π}{2}$),从而可求cos2x0=$\sqrt{1-si{n}^{2}2{x}_{0}}$的值.

解答 解:∵$f(x)={cos^2}\;\frac{x}{2}-{sin^2}\;\frac{x}{2}\;+sin\;x$=cosx+sinx,
又∵$f({x_0})=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$,即:sinx0+cosx0=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$,
∴两边平方可得:1+sin2x0=$\frac{32}{25}$,解得:sin2x0=$\frac{7}{25}$,
∵${x_0}\;∈({0\;,\;\frac{π}{4}})$,
∴2x0∈(0,$\frac{π}{2}$),
∴cos2x0=$\sqrt{1-si{n}^{2}2{x}_{0}}$=$\sqrt{1-(\frac{7}{25})^{2}}$=$\frac{24}{25}$.
故答案为:$\frac{24}{25}$.

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数关系式的应用,二倍角公式的应用,属于基本知识的考查.

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