分析 (1)利用向量的数量的运算得到sin2A-2cos2A=$\frac{1}{4}$,再根据同角的三角函数的关系,即可求出cos2A=$\frac{1}{4}$,sin2A=$\frac{3}{4}$,得到P,Q的坐标,再根据任意三角函数的定义,求出tanα=$\frac{1}{2}$,tanβ=-$\frac{4}{3}$,利用正切的和差公式计算即可;
(2)由(1)求出A的大小,由余弦定理和基本不等式得到bc≤9,设高为h,根据三角形的面积公式得到S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$ah,继而得到h的取值范围,问题得以解决.
解答 解:(1)点P(1,2cos2A)和Q(sin2A,-1)分别在角α、角β的终边上,且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{4}$,
∴sin2A-2cos2A=$\frac{1}{4}$,
即cos2A=$\frac{1}{4}$,sin2A=$\frac{3}{4}$
∴P(1,$\frac{1}{2}$)和Q($\frac{3}{4}$,-1),
∴tanα=$\frac{1}{2}$,tanβ=-$\frac{4}{3}$,
∴tan(α+β)=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{4}{3}}{1+\frac{1}{2}×\frac{4}{3}}$=$-\frac{1}{2}$
(2)由(1)知∵△ABC为锐角三角形,
∴cosA=$\frac{1}{2}$,
∴A=$\frac{π}{3}$,
由余弦定理,可得a2=b2+c2-2bccosA,
∴b2+c2-bc=9,
∴2bc-bc≤9,
即bc≤9,
设BC上的高为h,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$ah,
∴h=$\frac{bc}{a}$•sinA≤$\frac{9}{3}•$sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$
故BC边上的高的最大值为$\sqrt{3}$.
点评 本题考查余弦定理的运用,向量的数量积德运算,任意三角函数的定义,三角函数的化简和求值,以及两角和差的正切公式,基本不等式,三角形的面积公式,属于中档题.
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A. | 1 | B. | 1024 | C. | -1024 | D. | -2015 |
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A. | f(x)=x,g(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$ | B. | f(x)=x,g(x)=$\root{3}{{x}^{3}}$ | ||
C. | f(x)=cosx,g(x)=sin($\frac{3π}{2}$+x) | D. | f(x)=lnx2,g(x)=2lnx |
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x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 3 | 3.5 | 4.5 | 5 |
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