精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直且相等,过PA的中点D作平面α∥BC,且α分别交PB,PC于M,N,交AB,AC的延长线于E,F.
(Ⅰ)求证:EF⊥平面PAC;
(Ⅱ)若AB=2BE,求二面角P-DM-N的余弦值.
考点:用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定
专题:计算题,空间位置关系与距离,空间角
分析:(Ⅰ)运用线面垂直的判定和性质定理,以及线面平行的性质定理,即可得证;
(Ⅱ)以CA,CB,CP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,并设BC=2,求出点A,B,P,D,E,F的坐标,设平面PAB的法向量和平面DEF的法向量,由向量垂直的条件:数量积为0,即可得到法向量,再由向量的夹角公式,即可得到所求二面角的余弦值.
解答: (Ⅰ)证明:由BC⊥PC,BC⊥AC可知:BC⊥平面PAC,
又因为平面α∥BC,平面AEF过BC且与平面α交于EF,
所以EF∥BC.
故EF⊥平面PAC;  
(Ⅱ)以CA,CB,CP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
并设BC=2.则A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),
设平面PAB的法向量
n1
=(x1y1z1)

n1
PA
=0
n1
PB
=0
,可求得
n1
=(1,1,1)

D(1,0,1),E(-1,3,0),F(-1,0,0),
设平面DEF的法向量
n2
=(x,y,z)

n2
DE
=0
n2
FE
=0
,可得
n2
=(-1,0,2)

cos?
n1
n2
>=
n1
n2
|
n1
|•|
n2
|
=
15
15

二面角P-DM-N的余弦值为
15
15
点评:本题考查空间位置关系:平行和垂直,考查线面垂直的判定和性质定理,以及线面平行的性质定理,考查空间二面角的求法,主要是运用向量法解决,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

定义在R上的函数f(x)是增函数,且对任意的x恒有f(x)=-f(2-x),若实数a,b满足不等式组
f(a2-6a+23)+f(b2-8b)≤0
a≥3
,则a2+b2的范围为(  )
A、[13,27]
B、[25,45]
C、[13,45]
D、[13,49]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

f(x)=(a+bx)n(n?N*
(1)当a=
1
4
,b=2时,展开式前3项的二项式系数和为37,求展开式中二项式系数最大的项的系数;
(2)当时a=0,b=
1
2
,n=2时,y=f(x)与过点K(0,-1)的直线l相交于A,B两点,点A关于y轴的对称点为D.证明:点F(0,1)在直线BD上.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t(t≠-1),an+1-Sn=n.
(Ⅰ) 当t为何值时,数列{an+1}是等比数列?
(Ⅱ) 设数列{bn}的前n项和为Tn,b1=1,点(Tn+1,Tn)在直线
x
n+1
-
y
n
=
1
2
上,在(Ⅰ)的条件下,若不等式
b1
a1+1
+
b2
a2+1
+…+
bn
an+1
≥m-
9
2+2an
对于n∈N*恒成立,求实数m的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上,且AB=BC=CA=2
3
,平面PAB⊥平面ABC,则三棱锥P-ABC的体积的最大值为(  )
A、4
B、3
C、4
3
D、3
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,∠F1PF2=60°,则P到y轴的距离为(  )
A、
3
2
B、
6
2
C、
10
2
D、
6

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
2,x>m
x2+4x+2,x≤m
,若函数y=f(x)-x恰有三个零点,则实数m的取值范围的(  )
A、[-1,2)
B、[1,2]
C、[2,+∞)
D、(-∞,-1]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

函数f(x)=log2(-x2+ax+3)在(1,2)是单调递减的,则a的取值范围是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案